@(微积分)

这个知识点可以联想阿贝尔的12块钱，即收敛区间内绝对收敛，边界需要特别讨论。

函数项级数 ∑∞n=1(2x+1)nn 的收敛域为 [−1,0)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

分析：首先想到通用形式是如何求解的。

形如 ∑∞n=0an(x−x0)n

注意变量x的系数是1！很多题目都是在x的系数上做文章，所以要抽出这个系数。其次是 x0 的含义，在满足x系数是1时， x0 是收敛区间的中心。由中心左右扩大半径那么长，都是绝对收敛的区域。这是10块钱的事情。还有两块钱需要特别计算。即 x=x0−R,x=x0+R 两个点代入幂级数，变成常数项级数判敛问题。

注： ρ=limn→∞an+1an,R=1ρ

所以还需要有一个感性的认识是：后项比前项，比值越大，收敛半径越小。即收敛得很快，因此收敛的区间跨度将会越小。

回到题目。

且 x0=−12 因此收敛区间为: (−1,0)

再特别看x = -1, x = 0:

x = -1时：

∑∞n=1(−1)nn 条件收敛。

x = 0时：

∑∞n=11n 发散。

因此，收敛域是： [−1,0) .